جواب کاردرکلاس صفحه47 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 47 حسابان دوازدهم سلام! این تمرین ادامه بررسی مفهوم **حد بی‌نهایت** برای تابع $f(x) = \frac{1}{x}$ است، اما این بار در **همسایگی چپ** نقطه $x = 0$ (یعنی با مقادیر منفی). --- ### الف) تکمیل جدول (همسایگی چپ $x = 0$) در این بخش، مقادیر $x$ همگی **منفی** هستند و به صفر نزدیک می‌شوند. $f(x) = \frac{1}{x}$: * $\text{اگر } x = \frac{1}{2} = 0.5 \text{، آنگاه } f(x) = \frac{1}{0.5} = 2$ * $\text{اگر } x = -0.2 \text{، آنگاه } f(x) = \frac{1}{-0.2} = -5$ * $\text{اگر } x = -0.1 \text{، آنگاه } f(x) = \frac{1}{-0.1} = -10$ * $\text{اگر } x = -0.0001 \text{، آنگاه } f(x) = \frac{1}{-0.0001} = -10000$ | $x$ | $\frac{1}{2}$ | $-0.2$ | $-0.1$ | $-0.01$ | $-0.001$ | $-0.0001$ | $\dots \to$ | $0$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $f(x)$ | $\mathbf{2}$ | $\mathbf{-5}$ | $\mathbf{-10}$ | $-100$ | $-1000$ | $\mathbf{-10000}$ | $\mathbf{\dots \to -\infty}$ | $\text{تعریف نشده}$ | --- ### ب) $f(x)$ کوچک‌تر از $10^6-$ ما می‌خواهیم بدانیم $x$ باید چگونه انتخاب شود تا $f(x) < -10^6$ شود. 1. **نامساوی را تنظیم می‌کنیم:** $$f(x) < -1,000,000$$ $$\frac{1}{x} < -1,000,000$$ 2. **حل برای $x$:** چون $f(x)$ منفی است، حتماً $x$ **منفی** است. هنگام ضرب نامساوی در $x$ (که عددی منفی است)، **جهت نامساوی برمی‌گردد**: $$1 > -1,000,000 x$$ $$\text{تقسیم بر } -1,000,000 \text{ (جهت دوباره برمی‌گردد):} \quad \frac{1}{-1,000,000} < x$$ $$\text{یا } -0.000001 < x$$ * **نتیجه‌گیری:** $x$ باید عددی بین $-0.000001$ و $0$ باشد (نزدیک‌تر به صفر از سمت چپ). **پاسخ:** $x$ باید به گونه‌ای انتخاب شود که **$x > -0.000001$** و **$x < 0$** باشد، یعنی $x$ یک عدد منفی بسیار کوچک باشد. --- ### پ) تغییر $f(x)$ وقتی $x \to 0^-$ (از سمت چپ) وقتی $x$ از سمت چپ (با مقادیر منفی) به صفر نزدیک می‌شود، قدر مطلق $x$ کوچک و کوچک‌تر می‌شود. چون $f(x)$ حاصل تقسیم 1 بر یک عدد بسیار کوچک و **منفی** است، مقدار آن به سمت اعداد بسیار بزرگ و **منفی** می‌رود. **پاسخ:** $f(x)$ به سمت **منفی بی‌نهایت ($-\infty$)** کاهش می‌یابد. --- ### ت) در مورد $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}$ چه می‌توان گفت؟ بر اساس تحلیل‌های بخش‌های قبلی، وقتی $x$ از مقادیر منفی به صفر نزدیک می‌شود، مقدار تابع $\frac{1}{x}$ به طور نامحدود کوچک شده (به سمت $-\infty$ می‌رود). **پاسخ:** $$athbf{\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty}$$